gregbar (gregbar) wrote,
gregbar
gregbar

Category:

Господство математической статистики при изучении проблем инвестиций. Хорошо ли это?

Математика — это единственный
совершенный метод водить
самого себя за нос.

Альберт Эйнштейн.

Нашёл хороший эпиграф к этой серии постов про применение статистических методов к изучению фондового рынка.

Извиняюсь, что конец и начало года, этот период уборочно-посевной страды для долгосрочного инвестора, отвлёк меня от темы про статистику, которую я начал раньше (начало здесь, потом здесь и здесь).

Сегодня хотелось бы обсудить вторую часть проблем, связанных с применением методов математической статистики к изучению рынка ценных бумаг. Вопрос сформулирую так: выполняются ли исходные постулаты математической статистики в этом конкретном интересующем нас случае? Я бы дал отрицательный ответ на этот вопрос. Прошу поправить меня, если я не прав.

Собственно говоря, математическая статистика, в отличие от теории вероятностей, решает задачу более или менее точного определения вероятности чего-то, когда эта самая вероятность заранее неизвестна, когда мы не знаем всю (бесконечную) генеральную совокупность значений какой-то случайной величины, а знаем только конечную выборку из этой генеральной совокупности.

Упростим для понимания: допустим, некоему конкретному человеку не известно, что монета с несмещённым центром тяжести будет выпадать на орла и решку с равной вероятностью 50%. И он решает определить это экспериментом. В этот момент он, возможно не подозревая этого, переходит от теории вероятностей к математической статистике.

Подкидывая монету, он формирует выборку из генеральной совокупности, которая может сообщить ему кое-какие (но не полные, не точные) сведения о вероятностных свойствах выпадения орла и решки. Насколько точные сведения он получит? Это зависит от двух обстоятельств.

Одно обстоятельство – довольно очевидное:

Чем больше подкидываний он сделает (чем больше выборка) тем точнее он определит вероятность выпадения орла (или решки). Это очевидное обстоятельство следует дополнить другим, менее очевидным обстоятельством: чтобы получить ещё чуть более точную информацию, надо провести на порядок больше экспериментов. То есть, при 10 подбрасываниях монеты, мы, скорей всего (не точный термин, не буду уточнять, чтобы не запутать окончательно), отклонимся на 5,7% процента от «правильной вероятности» выпадения орла. Понятно, что можем отклониться и больше, и меньше, но наиболее вероятно, в среднем мы отклонимся именно на 5,7%. Например, менее вероятно, но вполне возможно, что мы получим в эксперименте все 10 орлов. Вероятность такого исхода не так уж мала, примерно равна 1%.

Если же мы хотим вдвое более точно определить выпадение орла, сделать так, что наша ошибка, наиболее вероятно составила только 3%, то нам придётся вместо 10 провести 100 экспериментов. И так далее.

Отсюда для нас, частных инвесторов, которые не могут «растянуть» свою инвестиционную жизнь даже на «ничтожные» 100 лет, возникают вопросы доверия к статистической информации по доходности, скажем, акций, которые за последние 100 лет показали среднегодовую доходность около 10%. У инвестора возникает закономерный вопрос: 100 лет и 10% ежегодно в среднем – это прекрасно, но у меня-то нет 100 лет в запасе. У меня только 25 лет инвестиционной деятельности; у меня ведь поэтому может получиться совсем другое значение среднегодового дохода. Хорошо, если большее. А если существенно меньшее, чем в среднем за 100 лет? На этот вопрос нет хорошего ответа у инвестиционных специалистов. Единственный честный ответ: да, может сложиться по-всякому! Тогда инвестор вправе задать другой вопрос: а стоит ли мне в своем поведении руководствоваться именно методами математической статистики, которые для короткой выборки дают не просто неточные результаты, а могут дать любые по неточности результаты?

На это обычно возражают: а чем же ещё пользоваться? Других-то вариантов нет.

Так ли? Действительно нет других методов, которые позволяют разумно вести себя на фондовом рынке? Об этом поговорим позже. А пока второе обстоятельство, почему фондовый рынок не позволяет честно использовать методы математической статистики.

Это другое обстоятельство – несколько более сложное.

А принадлежат ли данные из нашей выборки к одной и той же генеральной совокупности? Дело в том, что все данные выборки должны относиться к статистически неизменному объекту. Например, нельзя начать подкидывать монету, а в середине эксперимента заменить её кубиком, на двух гранях которого нарисован орёл, а на четырёх других – решка. Мы изменили статистические свойства объекта в процессе эксперимента. Так нельзя! Это запрещено. В этом случае все выводы, которые мы сделаем, будут неверны.

Но проблема с фондовым рынком состоит именно в том, что рынок как раз меняет свои свойства «по ходу эксперимента». Потому что рынок – это люди, это совокупность покупателей и продавцов, каждый из которых серьёзно стимулирован на выигрыш. Чтобы победить, инвесторы изучают рынок, они читают все научные работы, которые открывают новые возможности для получения дополнительной доходности на фондовом рынке. И начинают применять новые методы на практике. То есть, инвесторы меняют своё поведение. Поэтому меняются и статистические свойства рынка в целом. Как же его изучать, если он постоянно меняется?

Отсюда возникают такие, например, неожиданные и неприятные совершенно практические последствия. Индекс S&P 500, как уже говорилось, на столетней выборке показывает примерно 10% среднегодовой доходности. Однако, в последние 30 лет доходность индекса, вроде бы, стала примерно на 2% ниже. По крайней мере, скользящие десятилетние средние на этом периоде показывают снижение. Вопрос: это такая закономерность возникла? Это рынок так меняется, или это случайные колебания просто, которые в следующие 100-200 лет восстановятся? И если даже восстановится, мне-то что за дело, у меня только 25 лет реальной инвестиционной истории? Это всё вопросы без ответа.

Мне могут возразить: ну рассматривай доходность рынка (индекса S&P 500) не как случайную величину, а как случайный процесс во времени. Но в этом случае проблема малой выборки, о которой сказано выше, становится катастрофой просто. 30 последних лет, 30 точек на графике доходности можно аппроксимировать полиномом 29 степени абсолютно точно, кривая пройдёт строго по всем точкам. Но прогностическая сила такой аппроксимации – никакая. Дальше этот полином начнёт врать безбожно.

Итак, выводы из этой части:


  1. Проблема малой выборки ставит под сомнение разумность применения методов математической статистики к фондовому рынку. Матстатистика – это игра очень больших чисел. Её нельзя применять для малых чисел. А ограниченный период инвестиционной деятельности человека не позволяет работать с большими числами.



  1. В случае фондового рынка сами статистические свойства объекта меняются со временем. Это нарушает принцип единой генеральной совокупности, из которой производится выборка.

Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 11 comments

Recent Posts from This Journal